完備結び半束(complete join-semilattice; suplattice)とは、（有限とは限らない）任意の結びが存在するような半順序集合である。完備結び半束間の準同型(homomorphism)とは、任意の結びを保つ写像のことである。完備結び半束とその間の準同型全体は圏を成す。これを\mathbf {SL}と書く。

集合Sと、Sと\mathcal {P} { \left ( S \right )}上の2項関係\lhdが、任意のa \in SとU,V \subseteq Sについて以下の条件を満たすとき、(S, \lhd )をbasic coverと呼ぶ。

1. a \in Uならばa \lhd U
2. a \lhd Uかつ\forall u \in U (u \lhd V)ならばa \lhd V

また、\lhdをS上のbasic coverと呼ぶ。さらに、U \lhd Vと書いて\forall u \in U (u \lhd V)を表す。これにより上記の条件2は「a \lhd UかつU \lhd Vならばa \lhd V」と表せる。

完備結び半束Xが与えられたとき、任意の元aとU \subseteq Xについて a \lhd U \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \iff }} a \le \bigvee U と定義すると、\lhdはX上のbasic coverとなる。

集合S上のsaturationあるいは閉包作用素(closure operator)とは、写像\mathcal {C} \colon \mathcal {P} { \left ( S \right )} \to \mathcal {P} { \left ( S \right )}であって、

1. 単調性：U \subseteq Vならば\mathcal {C} U \subseteq \mathcal {C} V
2. expansivity：U \subseteq \mathcal {C} U
3. 冪等性：\mathcal {C} \mathcal {C} U = \mathcal {C} U

が任意のU,V \subseteq Sについて成り立つものである。(1)と(2)より\mathcal {C} U \subseteq \mathcal {C} \mathcal {C} Uが成り立つので、それらの元で(3)は\mathcal {C} \mathcal {C} U \subseteq \mathcal {C} Uと同値である。よって、saturationとは（圏と見なした）半順序集合\mathcal {P} { \left ( S \right )}上のモナドにすぎない。

集合S上のbasic cover \lhdとsaturation \mathcal {C}について、 \begin {align*} & \mathcal {C}_ \lhd (U) \mathrel { \stackrel { \text {def}}{=}} \set { x \in S | x \lhd U } \\ &x \lhd _{ \mathcal {C}} U \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \iff }} x \in \mathcal {C} U \end {align*} としたとき、\lhd \mapsto \mathcal {C}_ \lhdと\mathcal {C} \mapsto \lhd _{ \mathcal {C}}は互いに逆となる。

集合S上のsaturation \mathcal {C}について、集合U \subseteq Sが\mathcal {C}-saturatedであるとは、等式 \mathcal {C} U = U が成り立つことである。

集合S上のsaturation \mathcal {C}が与えられたとき、\mathcal {C}-saturated subset全体の集合 \mathcal {Sat} ( \mathcal {C}) \mathrel { \stackrel { \text {def}}{=}} \set { U \in \mathcal {P} { \left ( S \right )} | \mathcal {C} U = U } はU \leq V \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \iff }} U \subseteq Vとすることで完備結び半束となる。

完備結び半束XからX上のbasic cover \lhdを構成（完備結び半束から構成されるbasic cover）し、それに対応するsaturation \mathcal {C}_ \lhdから完備結び半束\mathcal {Sat} ( \mathcal {C}_ \lhd )を作る（saturationは完備結び半束を表示する）と、同型 X \cong \mathcal {Sat} ( \mathcal {C}_ \lhd ) が成り立つ。

2つのbasic cover S = (S, \lhd _S)とT = (T, \lhd _T)について、SからTへの射(morphism)とは、SとT上の2項関係rであって、任意のb \in TとU \subseteq Tについて b \lhd _T U \implies r^{-1} { \left \{ b \right \} } \lhd _S r^{-1} U となるものである。そのような2つのr,sは、任意のb \in Tについて r^{-1} { \left \{ b \right \} } =_S s^{-1} { \left \{ b \right \} } であるとき、等しいとする。ただし、V =_S Wは「V \lhd WかつW \lhd V」を表す。

2つのbasic cover S = (S, \lhd _S)とT = (T, \lhd _T)について、SからTへの射(morphism)とは、写像f \colon T \to \mathcal {Sat} ( \mathcal {C}_{ \lhd _S})であって、任意のb \in TとU \subseteq Tについて b \lhd _T U \implies f(b) \lhd _S f(U) が成り立つものである。ただし、\mathcal {C}_{ \lhd _S}は\lhd _Sに対応するsaturation（basic coverとsaturationは一対一対応する）であり、\mathcal {Sat} ( \mathcal {C}_{ \lhd _S})はsaturated subset全体の集合であり、 f(U) \mathrel { \stackrel { \text {def}}{=}} \bigcup _{u \in U} f(u) である。

1つ目の定義から2つ目の定義へは、任意のb \in Tについて f_r (b) \mathrel { \stackrel { \text {def}}{=}} \mathcal {C}_{ \lhd _S} (r^{-1} { \left \{ b \right \} } ) と定義すると、\mathcal {C}_{ \lhd _S}の冪等性よりf_r(b) \in \mathcal {Sat} ( \mathcal {C}_{ \lhd _S})となる。任意のb \in TとU \subseteq Tが与えられ、b \lhd _T Uであるとする。このとき、 r^{-1} { \left \{ b \right \} } \lhd _S r^{-1} U である。任意のa \in r^{-1} Uについて、 a \lhd _S \bigcup _{u \in U} f_r(u) を示したい。まず、a \mathrel {r} u_0となるu_0 \in Uが存在する。よって、a \in r^{-1} { \left \{ u_0 \right \} } \subseteq f_r (u_0)となることから、a \in \bigcup _{u \in U} f_r(u)が成り立つ。したがって、a \lhd _S \bigcup _{u \in U} f_r(u)が成り立つ。これにより r^{-1} U \lhd _S f_r(U) が分かり、\lhd _Sの推移律より r^{-1} { \left \{ b \right \} } \lhd _S f_r(U) となる。\mathcal {C}_{ \lhd _S}は( \mathcal {P} { \left ( S \right )} , \lhd _S)上のモナドでもあるので、 f_r(b) \lhd _S f_r(U) となる。

SからTへの2つの（関係としての）射rとsが等しいとき、かつそのときに限りf_r = f_sであることは、V =_S Wが\mathcal {C}_{ \lhd _S} V = \mathcal {C}_{ \lhd _S} Wと同値であることから分かる。

SからTへの（写像としての）射fが与えられたとき、 a \mathrel {r_f} b \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \iff }} a \in f(b) と定義する。任意のb \in TとU \subseteq Tが与えられ、b \lhd _T Uであるとする。このとき、 f(b) \lhd _S \bigcup _{u \in U} f(u) が成り立つが、これは r_f^{-1} { \left \{ b \right \} } \lhd _S r_f^{-1} U と同値である。したがって、r_fは関係としての射となる。また、任意のb \in Tについて f_{r_f}(b) = f(b) であることは、f(b)がsaturatedであることから分かる。

以上より、basic cover間の射の2つの定義は一対一対応している。

Basic coverとその間の射は圏を成す。これを\mathbf {BCov}と書く。射の合成は関係の合成によって与えられる。

Basic coverの圏\mathbf {BCov}と完備結び半束の圏\mathbf {SL}の間には以下の圏同値が成り立つ。 \mathbf {BCov} \simeq \mathbf {SL} ^ \mathsf {op}

• G. Battilotti and G. Sambin, “Pretopologies and a uniform presentation of sup-lattices, quantales and frames,” Annals of Pure and Applied Logic, vol. 137, no. 1–3, pp. 30–61, 2006, doi.
• F. Ciraulo, M. E. Maietti, and G. Sambin, “Convergence in Formal Topology: a unifying notion,” 2012, doi.
• F. Ciraulo, T. Kawai, and S. Maschio, “Factorizing the Top-Loc adjunction through positive topologies,” 2018, doi.

\Gammaが文脈(context)であるという判断を \vdash \Gamma \ \ \mathsf {ctx} と書くことにする。 空の文脈は以下の規則で与えられ、 \frac { }{ \vdash \cdot \ \ \mathsf {ctx} } 文脈の拡張は以下の規則で与えられる。 \frac { \vdash \Gamma \ \ \mathsf {ctx} \quad \Gamma \vdash A \ \ \mathsf {type} }{ \vdash \Gamma , x {:} A \ \ \mathsf {ctx} }

依存積型(dependent product type)を以下の規則で与える。 \frac { \Gamma \vdash A \ \ \mathsf {type} \quad \Gamma , x {:} A \vdash B \ \ \mathsf {type} }{ \Gamma \vdash \prod _{x : A} B \ \ \mathsf {type} } \frac { \Gamma , x {:} A \vdash M : B }{ \Gamma \vdash \lambda x . M : \prod _{x : A} B } \frac { \Gamma \vdash M : \prod _{x : A} B \quad \Gamma \vdash N : A }{ \Gamma \vdash M \ N : [N/x]B } \frac { \Gamma , x {:} A \vdash M : B \quad \Gamma \vdash N : A }{ \Gamma \vdash ( \lambda x . M) \ N \equiv [N/x]M : [N/x]B } \frac { \Gamma \vdash M : \prod _{x : A} B }{ \Gamma \vdash \lambda x . M \ x \equiv M : \prod _{x : A} B } Bが自由変数xを含まないとき、A \to Bと書いて\prod _{x : A} Bを表す。\prodは比較的強く結合することにする。したがって、\prod _{x : A} B \to Cは( \prod _{x : A} B) \to Cを表す。

依存和型(dependent sum type)を以下の規則で与える。 \frac { \Gamma \vdash A \ \ \mathsf {type} \quad \Gamma , x {:} A \vdash B \ \ \mathsf {type} }{ \Gamma \vdash \sum _{x : A} B \ \ \mathsf {type} } \frac { \Gamma \vdash M : A \quad \Gamma \vdash N : [M/x]B }{ \Gamma \vdash (M, N) : \sum _{x : A} B } \frac { \Gamma \vdash M : \sum _{x : A} B }{ \Gamma \vdash \pi _1 M : A } \frac { \Gamma \vdash M : \sum _{x : A} B }{ \Gamma \vdash \pi _2 M : [ \pi _1 M / x]B } \frac { \Gamma \vdash M : A \quad \Gamma \vdash N : [M/x]B }{ \Gamma \vdash \pi _1 (M, N) \equiv M : A } \frac { \Gamma \vdash M : A \quad \Gamma \vdash N : [M/x]B }{ \Gamma \vdash \pi _2 (M, N) \equiv N : [M/x]B } \frac { \Gamma \vdash M : \sum _{x : A} B }{ \Gamma \vdash ( \pi _1 M, \pi _2 M) \equiv M : \sum _{x : A} B } Bが自由変数xを含まないとき、A \times Bと書いて\sum _{x : A} Bを表す。\sumは比較的強く結合することにする。

Unit型(unit type)を以下の規則で与える。 \frac { }{ \Gamma \vdash \mathsf {Unit} \ \ \mathsf {type} } \frac { }{ \Gamma \vdash \ast : \mathsf {Unit} } \frac { \Gamma \vdash M : \mathsf {Unit} }{ \Gamma \vdash \ast \equiv M : \mathsf {Unit} }

同一視型(identity type)を以下の規則で与える。 \frac { \Gamma \vdash A \ \ \mathsf {type} \quad \Gamma \vdash M : A \quad \Gamma \vdash N : A }{ \Gamma \vdash \mathsf {Id}_{ A }( M , N ) \ \ \mathsf {type} } \frac { \Gamma \vdash M : A }{ \Gamma \vdash \mathsf {refl} _M : \mathsf {Id}_{ A }( M , M ) } \frac { \Gamma \vdash p : \mathsf {Id}_{ A }( M , N ) \quad \Gamma , x {:} A, q {:} \mathsf {Id}_{ A }( M , x ) \vdash B \ \ \mathsf {type} \quad \Gamma \vdash O : [ \mathsf {refl} _M/q][M/x]B }{ \Gamma \vdash \mathsf {J} (p, B, O) : [p/q][N/x]B } \frac { \Gamma , x {:} A, q {:} \mathsf {Id}_{ A }( M , x ) \vdash B \ \ \mathsf {type} \quad \Gamma \vdash O : [ \mathsf {refl} _M/q][M/x]B }{ \Gamma \vdash \mathsf {J} ( \mathsf {refl} _M, B, O) \equiv O : [ \mathsf {refl} _M/q][M/x]B }

同一視型の除去については更なる規則が考えられる：

1. 同一視型の除去の一意性
2. Equality reflection
3. StreicherのK規則
4. 同一性証明の一意性 (UIP)

1つ目と2つ目は同値であり、3つ目と4つ目は同値である。前者のグループは後者のグループを含意する。また、前者のグループからは関数の外延性も成り立つ。これらの追加の規則は「型を高次元の構造として見ること」の妨げとなるので、ホモトピー型理論では通常採用されない。

小圏\mathcal { C }上の2つの前層P,Q \colon \mathcal { C } ^ \mathsf {op} \to \mathbf {Set}と、自然変換\alpha \colon P \Rightarrow Qが与えられたとする。\alphaが表現可能(representable)であるとは、\mathcal { C }の任意の対象aと元s \in Q(a)について、前層\mathsf {h}_{ a } \times _Q Pが表現可能であることを指す。ここで、\mathsf {h}_{ a } \times _Q Pは前層圏\widehat { \mathcal { C } }における引き戻しのことである。

\mathsf {h}_{ a }は反変hom関手であり、上記の図式では米田の補題を用いてsを自然変換と見なした。

Grothendieck宇宙(Grothendieck universe)とは、以下の条件を満たす集合\mathcal { U }のことである。

\mathcal { U }をGrothendieck宇宙、\mathcal { C }を\mathcal { U }-smallな圏とする。\mathcal { C }上の前層Fが与えられたとする。任意の対象IについてF(I) \in \mathcal { U }が成り立つとき、Fを小さい(small)前層と呼ぶ。

\mathcal { U }をGrothendieck宇宙、\mathcal { C }を\mathcal { U }-smallな圏とする。\mathcal { C }上の前層Fが与えられたとする。元の圏\mathsf {el} (F)上の小さい前層のことをF上の小さい前層の族(family of small presheaves over F)と呼ぶ。

\mathcal { U }をGrothendieck宇宙、\mathcal { C }を\mathcal { U }-smallな圏とする。Hofmann-Streicher宇宙(Hofmann-Streicher universe)は、以下のように定義される2つの前層U \colon \mathcal { C } ^ \mathsf {op} \to \mathbf {Set}とE \colon ( \mathsf {el} (U))^ \mathsf {op} \to \mathbf {Set} _{ \mathcal { U } }から成る。 \begin {align*} U(a) & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{=}} \mathsf {Ob} { \left ( [( \mathcal { C } /a)^ \mathsf {op} , \mathbf {Set} _{ \mathcal { U } }] \right )} \\ U(f \colon a \to a') (F \in U a') & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{=}} F \circ ( \Sigma _f)^ \mathsf {op} \colon ( \mathcal { C } /a)^ \mathsf {op} \to \mathbf {Set} _{ \mathcal { U } } \\ E(a, P) & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{=}} P(a, \mathsf {id} _a) \\ E(f \colon a \to a') (v \colon P'(a', \mathsf {id} _{a'})) & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{=}} P'(f \in \mathsf {Hom} _{ \mathcal { C } /a' } { \left ( f , \mathsf {id} _{a'} \right )} )(v) \in (U(f)(P'))(a, \mathsf {id} _a) \end {align*} ここで、( \Sigma _f)^ \mathsf {op}は依存和関手の反対関手を表す。

元の圏上の前層圏はスライス圏と圏同値であるので、Eは\widehat { \mathcal { C } }/Uの対象としても与えることができる。前層E \colon \mathcal { C } ^ \mathsf {op} \to \mathbf {Set}と自然変換e \colon E \Rightarrow Uは次のように定義できる。 \begin {align*} E(a) & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{=}} \coprod _{P \in Ua} P(a, \mathsf {id} _a) \\ e_a (P, v) & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{=}} P \end {align*}

\mathcal { U }をGrothendieck宇宙とし、(U, E)を\mathcal { U }によって定義されるHofmann-Streicher宇宙とする。F \colon \mathcal { C } ^ \mathsf {op} \to \mathbf {Set}を任意の(小さいとは限らない)前層とする。F上の小さい前層の族Gが与えられたとき、自然変換\chi \colon F \Rightarrow Uと\chi ' \colon G \Rightarrow Eが存在して、以下の図式が引き戻し図式となる。

短時間で書いたこともあり、粗のある文書になりました。Generic objectという用語に関してはJacobsの本やSterling (2023)を見てください。前層圏に限らない一般のトポスにおける宇宙については、Streicher (2005)が参考になると思います。

そもそもIsabelleというのは、ある種のメタ論理(metalogic; logical framework)を提供している本体部分があり、そこに基底型や関数記号、公理を追加することで様々な対象論理(object logic)を表現している。対象論理の例として、高階論理(Isabelle/HOL)や1階論理(Isabelle/FOL)、ZF集合論(Isabelle/ZF)などがあり、その中で一番使われているのがIsabelle/HOLである。

Isabelle/HOLは古典高階論理(classical higher-order logic)をベースとしている。他の著名なproof assistant (AgdaやCoq、Leanなど)が構成的(constructive)な型理論をベースとしていることを考えると、Isabelle/HOLが排中律や二重否定除去を認めているのは特徴的といえる。また、高階論理には依存和や依存積といった依存型(dependent type)がないので、Agdaなどとは書き味がある程度異なる。

古典高階論理というのは、まず単純型理論(simple type theory)があり、その上に1階述語論理のレイヤーが載り、その論理における命題が単純型理論のbool型の項としてinternalizeされるもののことである。基本的にはBooleトポスの内部言語だと思っていればよく、たとえばIsabelle/HOLの関数型=>はexponential objectであり、Isabelle/HOLの含意-->は部分対象分類子bool上の内部Boole代数構造における含意である。ちなみに==>はメタ論理における含意を表す。

boolが部分対象分類子であるので、a => bool型の項はa型を持つ項の集合と見なすことができる。実際には、型a setはa => boolと同型になるように定義されている。

まず、構文について話しておく。Isabelleでは二重引用符を多用することが特徴的だが、専用のIDEで開けばちゃんとその中身もシンタックスハイライトされるので、そこまで問題とはならない。GitHubでは文字列としてハイライトされてしまうのが残念ではある。

lemma "A ∧ B ⟶ B ∧ A"
  apply (rule impI)
  apply (erule conjE)
  apply (rule conjI)
   apply assumption
  apply assumption
  done

lemma "A ∧ B ⟶ B ∧ A"
proof (rule impI)
  assume "A ∧ B"
  then have "A" "B" by (simp_all add: conjE)
  thus "B ∧ A" by (intro conjI)
qed

locale topological_space =
  fixes carrier :: "'a set"
  and opens :: "'a set set"
  assumes open_subsets [intro]: "opens ⊆ Pow carrier"
  and union_closed [intro]: "⟦ A ⊆ opens ⟧ ⟹ ⋃ A ∈ opens"
  and binary_inter_closed [intro]: "⟦ X ∈ opens; Y ∈ opens ⟧ ⟹ (X ∩ Y) ∈ opens"
  and nullary_inter_closed [intro, simp]: "carrier ∈ opens"

lemma (in topological_space) "..."

IsabelleのIsarとlocaleは形式的な証明の読みやすさと扱いやすさに寄与していて、他のproof assistantには無い魅力を持っていると感じた。

まず、単純型付きλ計算は4つのsortから成る。 \begin {align*} \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Con} } &: \textcolor {0f5cf7}{ \mathsf {Set} } \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } &: ( \Gamma \ \Delta : \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Con} } ) \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {0f5cf7}{ \mathsf {Set} } \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Ty} } &: \textcolor {0f5cf7}{ \mathsf {Set} } \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Con} } \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Ty} } \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {0f5cf7}{ \mathsf {Set} } \end {align*} このシグネチャはQIITを指定している。QIITについては詳しく説明しないが、多少依存型理論に慣れていれば雰囲気で読めると思う。ここで、\textcolor {de1a75}{ \mathsf {Con} }は文脈(context)、\textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} }は明示的代入(explicit substitution)、\textcolor {de1a75}{ \mathsf {Ty} }は型(type)、\textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} }は項(term)を表す。それから、文脈と代入が有限積を持つ圏を成すことと、項の集まりが前層となることを次のシグネチャによって指定する。 \begin {align*} \textcolor {de1a75}{ \cdot } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Con} } \\ \textcolor {de1a75}{ \rhd } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Con} } \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Ty} } \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Con} } \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {id} } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } \ \Gamma \ \Gamma \\ \textcolor {de1a75}{ \circ } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } \ \Gamma _2 \ \Gamma _3 \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } \ \Gamma _1 \ \Gamma _2 \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } \ \Gamma _1 \ \Gamma _3 \\ \textcolor {de1a75}{ \epsilon } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } \ \Gamma \ \textcolor {de1a75}{ \cdot } \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {p} } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } \ { \left ( \Gamma \textcolor {de1a75}{ \rhd } A \right )} \ \Gamma \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {q} } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ { \left ( \Gamma \textcolor {de1a75}{ \rhd } A \right )} \ A \\ \textcolor {de1a75}{ \langle } - \textcolor {de1a75}{ , } - \textcolor {de1a75}{ \rangle } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } \ \Delta \ \Gamma \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ \Delta \ A \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } \ \Delta \ { \left ( \Gamma \textcolor {de1a75}{ \rhd } A \right )} \\ - \textcolor {de1a75}{ \lbrack } - \textcolor {de1a75}{ \rbrack } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ \Delta \ A \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } \ \Gamma \ \Delta \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ \Gamma \ A \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {lunit} } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {id} } \textcolor {de1a75}{ \circ } \sigma \textcolor {0f5cf7}{ = } \sigma \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {runit} } &: \sigma \textcolor {de1a75}{ \circ } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {id} } \textcolor {0f5cf7}{ = } \sigma \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {assoc} } &: ( \sigma _3 \textcolor {de1a75}{ \circ } \sigma _2) \textcolor {de1a75}{ \circ } \sigma _1 \textcolor {0f5cf7}{ = } \sigma _3 \textcolor {de1a75}{ \circ } ( \sigma _2 \textcolor {de1a75}{ \circ } \sigma _1) \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf { \epsilon \text {-}unique} } &: ( \sigma : \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } \ \Gamma \ \textcolor {de1a75}{ \cdot } ) \textcolor {0f5cf7}{ \to } \sigma \textcolor {0f5cf7}{ = } \textcolor {de1a75}{ \epsilon } \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf { \textcolor {de1a75}{ \mathsf {p} } \text {-} { \left \langle \right \rangle } } } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {p} } \textcolor {de1a75}{ \circ } \textcolor {de1a75}{ \langle } \sigma \textcolor {de1a75}{ , } M \textcolor {de1a75}{ \rangle } \textcolor {0f5cf7}{ = } \sigma \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf { \textcolor {de1a75}{ \mathsf {q} } \text {-} { \left \langle \right \rangle } } } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {q} } \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \textcolor {de1a75}{ \langle } \sigma \textcolor {de1a75}{ , } M \textcolor {de1a75}{ \rangle } \textcolor {de1a75}{ \rbrack } \textcolor {0f5cf7}{ = } M \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf { { \left \langle \right \rangle } \text {-}unique} } &: ( \sigma : \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } \ \Delta \ { \left ( \Gamma \textcolor {de1a75}{ \rhd } A \right )} ) \textcolor {0f5cf7}{ \to } \sigma \textcolor {0f5cf7}{ = } \textcolor {de1a75}{ \langle } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {p} } \textcolor {de1a75}{ \circ } \sigma \textcolor {de1a75}{ , } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {q} } \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \sigma \textcolor {de1a75}{ \rbrack } \textcolor {de1a75}{ \rangle } \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {[] \text {-}id} } &: M \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {id} } \textcolor {de1a75}{ \rbrack } \textcolor {0f5cf7}{ = } M \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {[] \text {-} \circ } } &: M \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \sigma _2 \textcolor {de1a75}{ \circ } \sigma _1 \textcolor {de1a75}{ \rbrack } \textcolor {0f5cf7}{ = } M \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \sigma _2 \textcolor {de1a75}{ \rbrack } \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \sigma _1 \textcolor {de1a75}{ \rbrack } \end {align*} 項\textcolor {de1a75}{ \mathsf {q} } : \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ { \left ( \Gamma \textcolor {de1a75}{ \rhd } A \right )} \ Aはde Bruijn indexの0、すなわち最も内側で束縛された変数を表している。代入\textcolor {de1a75}{ \mathsf {p} } : \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } \ { \left ( \Gamma \textcolor {de1a75}{ \rhd } A \right )} \ \Gammaは弱化を表しており、1以上のde Bruijn index nは\textcolor {de1a75}{ \mathsf {q} } \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {p} } ^n \textcolor {de1a75}{ \rbrack }のように、\textcolor {de1a75}{ \mathsf {p} }を\textcolor {de1a75}{ \mathsf {q} }にn回適用することによって表すことができる。ここで、\sigma : \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } \ \Gamma \ \Deltaについて、\sigma ^ { \textcolor {de1a75}{ \uparrow } } : \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } \ { \left ( \Gamma \textcolor {de1a75}{ \rhd } A \right )} \ { \left ( \Delta \textcolor {de1a75}{ \rhd } A \right )}を、\textcolor {de1a75}{ \langle } \sigma \textcolor {de1a75}{ \circ } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {p} } \textcolor {de1a75}{ , } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {q} } \textcolor {de1a75}{ \rangle }と定義する。次に、関数型を追加する。 \begin {align*} \textcolor {de1a75}{ \Rightarrow } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Ty} } \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Ty} } \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Ty} } \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {lam} } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ { \left ( \Gamma \textcolor {de1a75}{ \rhd } A \right )} \ B \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ \Gamma \ { \left ( A \textcolor {de1a75}{ \Rightarrow } B \right )} \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {app} } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ \Gamma \ { \left ( A \textcolor {de1a75}{ \Rightarrow } B \right )} \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ { \left ( \Gamma \textcolor {de1a75}{ \rhd } A \right )} \ B \\ \textcolor {de1a75}{ { \textcolor {de1a75}{ \Rightarrow } } \beta } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {app} } \ { \left ( \textcolor {de1a75}{ \mathsf {lam} } \ M \right )} \textcolor {0f5cf7}{ = } M \\ \textcolor {de1a75}{ { \textcolor {de1a75}{ \Rightarrow } } \eta } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {lam} } \ { \left ( \textcolor {de1a75}{ \mathsf {app} } \ M \right )} \textcolor {0f5cf7}{ = } M \\ \textcolor {de1a75}{ { \textcolor {de1a75}{ \mathsf {lam} } } \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \textcolor {de1a75}{ \rbrack } } &: { \left ( \textcolor {de1a75}{ \mathsf {lam} } \ M \right )} \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \sigma \textcolor {de1a75}{ \rbrack } \textcolor {0f5cf7}{ = } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {lam} } \ { \left ( M \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \sigma ^ { \textcolor {de1a75}{ \uparrow } } \textcolor {de1a75}{ \rbrack } \right )} \end {align*} これは次の自然同型が成り立つといっている。 \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ { \left ( \Gamma \textcolor {de1a75}{ \rhd } A \right )} \ B \textcolor {0f5cf7}{ \cong } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ \Gamma \ { \left ( A \textcolor {de1a75}{ \Rightarrow } B \right )} それから、Bool型も追加する。 \begin {align*} \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Bool} } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Ty} } \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {true} } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ \Gamma \ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Bool} } \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {false} } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ \Gamma \ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Bool} } \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {if} } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ \Gamma \ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Bool} } \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ \Gamma \ A \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ \Gamma \ A \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } \ \Gamma \ A \\ \textcolor {de1a75}{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Bool} } \beta _1 } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {if} } \ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {true} } \ M \ N \textcolor {0f5cf7}{ = } M \\ \textcolor {de1a75}{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Bool} } \beta _2 } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {if} } \ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {false} } \ M \ N \textcolor {0f5cf7}{ = } N \\ \textcolor {de1a75}{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {true} } \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \textcolor {de1a75}{ \rbrack } } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {true} } \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \sigma \textcolor {de1a75}{ \rbrack } \textcolor {0f5cf7}{ = } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {true} } \\ \textcolor {de1a75}{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {false} } \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \textcolor {de1a75}{ \rbrack } } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {false} } \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \sigma \textcolor {de1a75}{ \rbrack } \textcolor {0f5cf7}{ = } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {false} } \\ \textcolor {de1a75}{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {if} } \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \textcolor {de1a75}{ \rbrack } } &: { \left ( \textcolor {de1a75}{ \mathsf {if} } \ b \ M \ N \right )} \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \sigma \textcolor {de1a75}{ \rbrack } \textcolor {0f5cf7}{ = } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {if} } \ { \left ( b \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \sigma \textcolor {de1a75}{ \rbrack } \right )} \ { \left ( M \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \sigma \textcolor {de1a75}{ \rbrack } \right )} \ { \left ( N \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \sigma \textcolor {de1a75}{ \rbrack } \right )} \end {align*} Bool型に対しては\eta同値性は仮定しない。

上記のようにQIITを使う利点は、任意の(finitary) QIITについて、その代数の圏が自動的に手に入り、さらにその圏が始対象(始代数)を持つことである。その始代数を構文(syntax)と呼び、このQIITの各代数を単純型付きλ計算のモデル(model)と呼ぶ。

次に、集合モデル(set model)を与える。 \begin {align*} \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Con} } _ \mathsf {Set} & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} \textcolor {0f5cf7}{ \mathsf {Set} } \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } _ \mathsf {Set} \ \Gamma \ \Delta & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} \Gamma \textcolor {0f5cf7}{ \to } \Delta \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Ty} } _ \mathsf {Set} & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} \textcolor {0f5cf7}{ \mathsf {Set} } \\ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } _ \mathsf {Set} \ \Gamma \ A & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} \Gamma \textcolor {0f5cf7}{ \to } A \end {align*} ここで、メタ理論が少なくとも2つの宇宙\textcolor {0f5cf7}{ \mathsf {Set} } _0 : \textcolor {0f5cf7}{ \mathsf {Set} } _1を持っていると仮定し、本稿において\textcolor {0f5cf7}{ \mathsf {Set} }と書いたときは、文脈に合わせて何らかの宇宙を表しているとする。各文脈と各型はメタレベルの型として解釈され、各代入と各項はメタレベルの関数として解釈される。集合モデルはいたって標準的に定義されるので、一部のみを抜粋する。 \begin {align*} \textcolor {de1a75}{ \cdot } _ \mathsf {Set} & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} \textcolor {0f5cf7}{ 1 } \\ { { \left ( \Gamma \textcolor {de1a75}{ \rhd } A \right )} }_ \mathsf {Set} & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} \Gamma \textcolor {0f5cf7}{ \times } A \\ { { \left ( A \textcolor {de1a75}{ \Rightarrow } B \right )} }_ \mathsf {Set} & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} A \textcolor {0f5cf7}{ \to } B \\ { \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Bool} } }_ \mathsf {Set} & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} \textcolor {0f5cf7}{ 2 } \\ { { \left ( \textcolor {de1a75}{ \mathsf {lam} } \ M \right )} }_ \mathsf {Set} & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} \textcolor {0f5cf7}{ \lambda } \gamma \mathpunct { \textcolor {0f5cf7}{ . } } \textcolor {0f5cf7}{ \lambda } a \mathpunct { \textcolor {0f5cf7}{ . } } M \textcolor {0f5cf7}{ \lparen } \gamma \textcolor {0f5cf7}{ , } a \textcolor {0f5cf7}{ \rparen } \\ { \textcolor {de1a75}{ \mathsf {true} } }_ \mathsf {Set} & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} \textcolor {0f5cf7}{ \lambda } \_ \mathpunct { \textcolor {0f5cf7}{ . } } \ast \\ { \textcolor {de1a75}{ \mathsf {false} } }_ \mathsf {Set} & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} \textcolor {0f5cf7}{ \lambda } \_ \mathpunct { \textcolor {0f5cf7}{ . } } \ast \ast \\ \end {align*}

次に、displayed modelとその断面の概念を定義する。これらは、一般のQIITに定義される概念を、単純型付きλ計算に特殊化したものである。

次に、global sections functor \mathsf {G}を定義する。構文を\mathsf {S}と書く。\mathsf {G}は\mathsf {S}から集合モデル\mathsf {Set}への4つの関数から成る。 \begin {align*} \mathsf {G} _{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Con} } } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Con} } _ \mathsf {S} \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Con} } _ \mathsf {Set} \\ \mathsf {G} _{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } _{ \mathsf {S} } \ \Gamma \ \Delta \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } _{ \mathsf {Set} } \ { \left ( \mathsf {G} \ \Gamma \right )} \ { \left ( \mathsf {G} \ \Delta \right )} \\ \mathsf {G} _{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Ty} } } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Ty} } _{ \mathsf {S} } \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Ty} } _{ \mathsf {Set} } \\ \mathsf {G} _{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } } &: \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } _{ \mathsf {S} } \ \Gamma \ A \textcolor {0f5cf7}{ \to } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } _{ \mathsf {Set} } \ { \left ( \mathsf {G} \ \Gamma \right )} \ { \left ( \mathsf {G} \ A \right )} \end {align*} これらの関数の定義を以下で与える。 \begin {align*} \mathsf {G} _{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Con} } } \ \Gamma & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } _{ \mathsf {S} } \ \textcolor {de1a75}{ \cdot } _ \mathsf {S} \ \Gamma \\ \mathsf {G} _{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } } \ \sigma & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} \textcolor {0f5cf7}{ \lambda } \sigma ' \mathpunct { \textcolor {0f5cf7}{ . } } { \left ( \sigma \textcolor {de1a75}{ \circ } _ \mathsf {S} \sigma ' \right )} \\ \mathsf {G} _{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Ty} } } \ A & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } _{ \mathsf {S} } \ \textcolor {de1a75}{ \cdot } _ \mathsf {S} \ A \\ \mathsf {G} _{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } } \ M & \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} \textcolor {0f5cf7}{ \lambda } \sigma ' \mathpunct { \textcolor {0f5cf7}{ . } } { \left ( M \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \sigma ' \textcolor {de1a75}{ \rbrack } _ \mathsf {S} \right )} \\ \end {align*}

上記の定義より、\mathsf {G}が空文脈(\textcolor {de1a75}{ \cdot })と文脈拡張(\textcolor {de1a75}{ \rhd })を、同型を除いて保存することが分かる。 \begin {align*} \mathsf {G} \ \textcolor {de1a75}{ \cdot } _ \mathsf {S} & \textcolor {0f5cf7}{ = } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } _{ \mathsf {S} } \ \textcolor {de1a75}{ \cdot } _ \mathsf {S} \ \textcolor {de1a75}{ \cdot } _ \mathsf {S} \\ & \textcolor {0f5cf7}{ \cong } \textcolor {0f5cf7}{ 1 } \\ & \textcolor {0f5cf7}{ = } \textcolor {de1a75}{ \cdot } _ \mathsf {Set} \end {align*} この同型射を\mathsf {G} _{ \textcolor {de1a75}{ \cdot } } : \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } _{ \mathsf {Set} } \ { \left ( \mathsf {G} \ \textcolor {de1a75}{ \cdot } _ \mathsf {S} \right )} \ \textcolor {de1a75}{ \cdot } _ \mathsf {Set}と書く。 \begin {align*} \mathsf {G} \ ( \Gamma \textcolor {de1a75}{ \rhd } _ \mathsf {S} A) & \textcolor {0f5cf7}{ = } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } _{ \mathsf {S} } \ \textcolor {de1a75}{ \cdot } _ \mathsf {S} \ { \left ( \Gamma \textcolor {de1a75}{ \rhd } _ \mathsf {S} A \right )} \\ & \textcolor {0f5cf7}{ \cong } \mathsf {G} \ \Gamma \textcolor {0f5cf7}{ \times } \mathsf {G} \ A \\ & \textcolor {0f5cf7}{ = } \mathsf {G} \ \Gamma \textcolor {de1a75}{ \rhd } _{ \mathsf {Set} } \mathsf {G} \ A \end {align*} この同型射を\mathsf {G} _{ \textcolor {de1a75}{ \rhd } } : \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Sub} } _{ \mathsf {Set} } \ { \left ( \mathsf {G} \ ( \Gamma \textcolor {de1a75}{ \rhd } _ \mathsf {S} A) \right )} \ { \left ( \mathsf {G} \ \Gamma \textcolor {de1a75}{ \rhd } _{ \mathsf {Set} } \mathsf {G} \ A \right )}と書くと、 \textcolor {de1a75}{ \mathsf {p} } _ \mathsf {Set} \textcolor {de1a75}{ \circ } _ \mathsf {Set} \mathsf {G} _{ \textcolor {de1a75}{ \rhd } } \textcolor {0f5cf7}{ = } \mathsf {G} \ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {p} } _ \mathsf {S} と \textcolor {de1a75}{ \mathsf {q} } _ \mathsf {Set} \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \mathsf {G} _{ \textcolor {de1a75}{ \rhd } } \textcolor {de1a75}{ \rbrack } _ \mathsf {Set} \textcolor {0f5cf7}{ = } \mathsf {G} \ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {q} } _ \mathsf {S} が成り立つことも確認できる。さらに、同型\mathsf {G} _{ \textcolor {de1a75}{ \rhd } }は\Gammaについて自然になる。また、関手性と自然性が(strictに)成り立つことも分かる。 \begin {align*} \mathsf {G} \ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {id} } _ \mathsf {S} & \textcolor {0f5cf7}{ = } \textcolor {de1a75}{ \mathsf {id} } _ \mathsf {Set} \\ \mathsf {G} \ ( \sigma _2 \textcolor {de1a75}{ \circ } _ \mathsf {S} \sigma _1) & \textcolor {0f5cf7}{ = } \mathsf {G} \ \sigma _2 \textcolor {de1a75}{ \circ } _ \mathsf {Set} \mathsf {G} \ \sigma _1 \\ \mathsf {G} \ (M \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \sigma \textcolor {de1a75}{ \rbrack } _ \mathsf {S} ) & \textcolor {0f5cf7}{ = } ( \mathsf {G} \ M) \textcolor {de1a75}{ \lbrack } \mathsf {G} \ \sigma \textcolor {de1a75}{ \rbrack } _ \mathsf {Set} \\ \end {align*} これらのような性質を持つ関数の4つ組を一般にpseudomorphismと呼ぶが、本稿で扱うpseudomorphismはglobal sections functorのみである。

本稿で最も重要な概念であるgluingを定義する。一般的に(少なくとも対象言語もMartin-löf型理論であるとき)、gluingとは任意のpseudomorphism \mathcal { M } \to \mathcal { N }から、\mathcal { M }上のdisplayed modelを構成する操作である。詳しくはGluing for type theoryを見よ。しかし、上述の通り本稿ではglobal sections functorに沿ったgluingのみを定義する。

構文\mathsf {S}、すなわち始代数について、\mathsf {S}上の任意のdisplayed modelは一意の断面を持つ。その断面を\mathsf {elim} : \mathsf {S} \to \mathsf {S} ^ \mathsf {G}と書く。すると、任意の項M : \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } _ \mathsf {S} \textcolor {de1a75}{ \cdot } _ \mathsf {S} \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Bool} } _ \mathsf {S}について、 \mathsf {elim} _{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } } \ M : \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } _{ \mathsf {S} ^ \mathsf {G} } \ { \left ( \mathsf {elim} _{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Con} } } \ \textcolor {de1a75}{ \cdot } _ \mathsf {S} \right )} \ { \left ( \mathsf {elim} _{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Ty} } } \ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Bool} } _ \mathsf {S} \right )} \ M となる。断面はすべての演算を保存するので、これは \mathsf {elim} _{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } } \ M : \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } _{ \mathsf {S} ^ \mathsf {G} } \ \textcolor {de1a75}{ \cdot } _{ \mathsf {S} ^ \mathsf {G} } \ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Bool} } _{ \mathsf {S} ^ \mathsf {G} } \ M と表せる。すなわち\mathsf {elim} _{ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {Tm} } } \ Mは、あるv : \textcolor {0f5cf7}{ 2 }が存在して、 M \textcolor {0f5cf7}{ = } \textcolor {0f5cf7}{ \mathsf {case} } \ v \ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {true} } _ \mathsf {S} \ \textcolor {de1a75}{ \mathsf {false} } _ \mathsf {S} が成り立つことを意味する。これは、任意のBool型の閉項Mが\textcolor {de1a75}{ \mathsf {true} } _ \mathsf {S}か\textcolor {de1a75}{ \mathsf {false} } _ \mathsf {S}と等しいこと、つまりcanonicityを示している。

Martin-löf型理論の基礎は次の4つの判断(judgment)から始まる。

型理論に型結合子(type connective)を追加するためには、規則を追加する。たとえば依存積(dependent product)ならば、次のようにformation規則、導入規則、除去規則、それから\beta同値性と\eta同値性を表す規則などを追加する。

依存積以外にも、宇宙(universe)と呼ばれる型結合子を考えられる。型\mathsf {U} _0の要素a : \mathsf {U} _0をコード(code)と呼び、コードaからは型\mathsf {El} _0(a)を構成することができる。 \frac { }{ \Gamma \vdash \mathsf {U} _0 \enspace \mathsf {type} } \text {($ \mathsf {U} _0$F)} \frac { \Gamma \vdash a : \mathsf {U} _0 }{ \Gamma \vdash \mathsf {El} _0(a) \enspace \mathsf {type} } \text {($ \mathsf {U} _0$E)} すなわち宇宙とは、その要素から何らかの型を作れるような型の一種である。

しかし、このままだとあまり宇宙のありがたみがない。我々は普通、宇宙がその型理論の型結合子（の一部）で閉じていることを期待する。たとえば、依存積に関して次のような条件を課すだろう。

次に、もうひとつの宇宙\mathsf {U} _1を追加することにする。 \frac { }{ \Gamma \vdash \mathsf {U} _1 \enspace \mathsf {type} } \text {($ \mathsf {U} _1$F)} \frac { \Gamma \vdash a : \mathsf {U} _1 }{ \Gamma \vdash \mathsf {El} _1(a) \enspace \mathsf {type} } \text {($ \mathsf {U} _1$E)} \frac { \Gamma \vdash a : \mathsf {U} _0 }{ \Gamma \vdash \mathop { \Uparrow } _0^1 a : \mathsf {U} _1 } \text {(Lift)} \frac { \Gamma \vdash a : \mathsf {U} _0 }{ \Gamma \vdash \mathsf {El} _1 ( \mathop { \Uparrow } _0^1 a) \equiv \mathsf {El} _0 (a) \enspace \mathsf {type} } \text {(LiftEq)} \frac { }{ \Gamma \vdash \hat { \mathsf {U} }_0 : \mathsf {U} _1 } \text {($ \mathsf {U} _0$Code)} \frac { }{ \Gamma \vdash \mathsf {El} _1{ \hat { \mathsf {U} }_0} \equiv \mathsf {U} _0 \enspace \mathsf {type} } \text {($ \mathsf {U} _0$CodeEq)} 最初の2つの規則は\mathsf {U} _0のときと同様だが、残りの4つの規則は新しい。3番目の規則\text {(Lift)}は\mathsf {U} _0のコードを\mathsf {U} _1のコードへと持ち上げることを許可する。4番目の規則\text {(LiftEq)}は、そうやって持ち上げられたコードに対して\mathsf {El} _1を適用した結果は、もともとのコードに\mathsf {El} _0を適用したものと同じであると言っている。このようにU_0の任意のコードをU_1へと「埋め込める」ことから、\mathsf {U} _0は\mathsf {U} _1の部分宇宙(subuniverse)となる。一方、最後の2つの規則は、宇宙\mathsf {U} _1が\mathsf {U} _0について閉じていることを要請しており、\mathsf {U} _0は\mathsf {U} _1に対して小さい宇宙(small universe)と呼ばれる。これらのことを合わせると、\mathsf {U} _0は\mathsf {U} _1の小さい部分宇宙(small subuniverse)と言える。

上記のプロセスを可算無限回繰り返すことで、可算無限個の宇宙から成る階層を得られる。すなわち、任意の自然数iについて、以下の規則を得られる。 \frac { }{ \Gamma \vdash \mathsf {U} _i \enspace \mathsf {type} } \text {($ \mathsf {U} _i$F)} \frac { \Gamma \vdash a : \mathsf {U} _i }{ \Gamma \vdash \mathsf {El} _i(a) \enspace \mathsf {type} } \text {($ \mathsf {U} _i$E)} \frac { \Gamma \vdash a : \mathsf {U} _i }{ \Gamma \vdash \mathop { \Uparrow } _i^{i+1} a : \mathsf {U} _{i+1} } \text {(Lift)} \frac { \Gamma \vdash a : \mathsf {U} _i }{ \Gamma \vdash \mathsf {El} _{i+1} ( \mathop { \Uparrow } _i^{i+1} a) \equiv \mathsf {El} _i (a) \enspace \mathsf {type} } \text {(LiftEq)} \frac { }{ \Gamma \vdash \hat { \mathsf {U} }_i : \mathsf {U} _{i+1} } \text {($ \mathsf {U} _i$Code)} \frac { }{ \Gamma \vdash \mathsf {El} _{i+1}{ \hat { \mathsf {U} }_i} \equiv \mathsf {U} _i \enspace \mathsf {type} } \text {($ \mathsf {U} _i$CodeEq)} このとき、iを宇宙レベル(universe level)と呼ぶ。

「宇宙が可算無限個あるとどうなるのか、有限個の場合と何が違うのか」というと、任意の型に対して何らかのコードが対応する、という状況が作り出せるという点がある。

• Generalized Universe Hierarchies and First-Class Universe Levels
• An Order-Theoretic Analysis of Universe Polymorphism
• Algebraic Type Theory and Universe Hierarchies
• Tarski universe in nLab
• Russell universe in nLab

\mathcal { U } , \mathcal { V }を任意の宇宙とする。任意の型A : \mathcal { U }について、Aの\mathcal { V }-冪集合(\mathcal { V }-powerset)とは、次のように定義される型\mathcal {P} _{ \mathcal { V } } (A) : \mathcal { U } \sqcup \mathcal { V } ^+のことである。 \mathcal {P} _{ \mathcal { V } } (A) \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} A \to \mathsf {hProp} _{ \mathcal { V } } ただし、\mathsf {hProp} _{ \mathcal { V } }は命題の宇宙を表す。

\mathcal { V }を任意の宇宙とする。任意の型Aについて、Aの\mathcal { V }-冪集合の要素を\mathcal { V }-値部分集合(\mathcal { V }-valued subset)と呼ぶ。

Aを型、\mathcal { V }を宇宙とする。Aの\mathcal { V }-値部分集合Sとx : Aについて、x \in Sと書いて型S (x)を表す。

A : \mathcal { U }を型、\mathcal { V }を宇宙とする。このとき、型\mathsf {Fam} _{ \mathcal { V } } (A) : \mathcal { U } \sqcup \mathcal { V } ^+を次のように定義する。 \mathsf {Fam} _{ \mathcal { V } } (A) \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} \sum _{I : \mathcal { V } } (I \to A) このとき\mathsf {Fam} _{ \mathcal { V } } (A)の元(I, f)を、Aの元のIで添字付けられた族(I-indexed family)と呼ぶ。

型A上の族U \equiv (I, f)とi : Iが与えられたとき、U_iと書いて元f(i) : Aを表す。

型Aの\mathcal { V }-値部分集合S : A \to \mathsf {hProp} _{ \mathcal { V } }について、 I \mathrel { \stackrel { \text {def}}{ \equiv }} \sum _{x : A} (x \in S) と定義すると、(I, \mathsf {pr}_1 : I \to A)は族になる。